МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000/2001 уч. год., ФН - 1, 11 сем., лекц. 26 ч., сем. 26 ч.

Доц. Калинкин А.В.

Даны основы аналитического метода для случайных процессов с дискретным фазовым пространством. Для решения уравнений Колмогорова для пеpеходных веpоятностей марковских процессов используются методы обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных. Даны примеры прикладных задач, возникших в различных областях естествознания и техники на основе теории случайных процессов.

1. Производящие и экспоненциальные производящие функции. Область сходимости. Мультипликативное свойство вероятностных производящих функций. Вычисление среднего и дисперсии целочисленной случайной величины. Примеры. Многомерные производящие функции.

2. Переходные вероятности однородных марковских процессов с конечным или счетным множеством состояний. Инфинитезимальные характеристики и их вероятностная интерпретация. Классификация состояний. Вывод первой и второй (линейных) систем дифференциальных уравнений Колмогорова.

3. Процессы гибели и размножения, вложенная цепь Маркова для которых является случайным блужданием. Оператор обобщенной производной. Свертка первой и второй систем дифференциальных уравнений для переходных вероятностей. Асимптотическое поведение средних для процессов чистого размножения пуассоновского, степенного, линейного и квадратичного типов.

4. Ветвящийся процесс и его уравнения. Вывод свойства ветвления для переходных вероятностей. Вывод нелинейного дифференциального уравнения Колмогорова.

5. Интерпретация ветвящегося процесса через частицы. Приложения в физике. Цепная ядерная реакция размножения нейтронов T ® kT. Докритические, критические, надкритические процессы. Вероятностная интерпретация параметра критичности ветвящегося процесса.

6. Вычисление вероятности вырождения ветвящегося процесса с помощью стационарного первого уравнения. Параметр критичности и вероятность вырождения.

7. Структура множества марковских процессов при дискретных состояниях. Марковские процессы с взаимодействием. Второе уравнение для многомерной производящей функции переходных вероятностей. Конструктивное описание как процессов с взаимодействием частиц. Схема взаимодействий. Иммиграция частиц, финальные частицы.

8. Ветвящиеся процессы с взаимодействием. Первое и второе уравнения для экспоненциальной производящей и производящей функций переходных вероятностей. Ветвящиеся процессы. Свойство ветвления и нелинейная система уравнений.

9. Приложения в формальной химической кинетике. Детерминированная и вероятностная модели мономолекулярной реакции T₁ ® T₂. Предельная теорема при большом начальном числе частиц. Бимолекулярная реакция T₁ + T₂ ® T₃ и закон действующих масс. Бимолекулярная реакция 2T ® T.

10. Приложения в экологии. Детерминированная и вероятностная модели системы "хищник-жертва". Приложения в технике. Вычисление стационарного распределения для системы массового обслуживания 0 ® T, T ® 0.

11. Макроскопический и микроскопический, детерминистический и стохастический, непрерывный и дискретный подходы при построении математических моделей сложных систем. Перечисление основных схем взаимодействий. Задача классификации схем взаимодействий. Задача вывода третьего (нелинейного) уравнения для специальных классов марковских процессов.

1. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977, 568 с.
2. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971, 436 c.
3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. М.: Мир, 1984, 528 с.
4. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969, 512с.
5. Калинкин А.В. Случайные процессы в естествознании: дискретное фазовое пространство. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999, 40 с. (Препринт архивирован: http://www2.bmstu.ru/facult/fn/kalin/branching/nature.zip)